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Laufzeitschranken für den Simplex Algorithmus durch Markov-Entscheidungsprozesse

von Nils Mosis (Gewinner Masterpreis 2023)

Simplex Algorithmus

Der Simplex Algorithmus wurde 1947 von George Dantzig entwickelt [1] und wird bis heute für die Lösung linearer Optimierungsprobleme genutzt. Der Algorithmus startet in einer Ecke der zulässigen Menge und bewegt sich dann iterativ zu benachbarten Ecken mit einem verbesserten Zielfunktionswert, bis er eine optimale Lösung findet (siehe Abb. 1) oder erkennt, dass das lineare Programm (LP) unbeschränkt ist.

Abb. 1: Das zulässige Polyeder eines LPs mit zu maximierendem Zielfunktionsvektor c. Der Simplex Algorithmus findet das Optimum hier in drei Schritten.

Multidimensionale Optimierung und das Problem der k kürzesten Wege

von Max Huneshagen (Gewinner Masterpreis 2023)

Viele Millionen Menschen fliegen jedes Jahr von Deutschland aus zu Zielen in Nah und Fern. Nur die Wenigsten werden sich dabei fragen, welchen Weg sie eigentlich genau nehmen. Aus der Sicht von Fluggesellschaften kann sich die Wahl der optimalen Flugroute als ein kompliziertes Problem herausstellen. Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass man immer den direkten Weg wählen sollte – schließlich ist dieser am kürzesten und daher doch wohl sicher auch am billigsten? In der Realität ist dieser naive Ansatz leider zumeist falsch, da weitere Kosten berücksichtigt werden müssen, die nicht unbedingt proportional mit der Weglänge steigen. So verlangen beispielsweise Staaten Gebühren für das Überqueren ihres Hoheitsgebietes. Deswegen kann es womöglich günstiger sein, eine längere Strecke über ein Land mit geringen Gebühren zu fliegen als nur kurz über ein Land, das viel Geld für einen Überflug verlangt. Außerdem spielen die Stärke und Richtung des Windes eine wichtige Rolle in der Flugplanung, was dazu führt, dass Flugrouten oft dynamisch geplant werden müssen.

On-Demand-Mobilitätsdienste als integrative Ergänzung zum ÖPNV

von Lorenz Saathoff (Gewinner Masterpreis 2023)

Neuartige Konzepte des bedarfsorientierten Nahverkehrs (engl. Demand-Responsive Transport) werden im Sinne der Verkehrswende als vielversprechende Lösungsansätze für notwendige Veränderungen im Mobilitätssektor diskutiert. Zusätzlich zum Ausbau des ÖPNV muss dessen Attraktivität gesteigert werden, um Anreize für den Umstieg zu setzen und damit den Anteil des Umweltverbunds am Modal Split zu erhöhen. Die Ergebnisse der Studie [1] in Bezug auf die Einflüsse von Anreizen für einen Wechsel zeigen, dass eine bessere Anbindung im Sinne hoher Pünktlichkeit, Taktung und Flexibilität den größten Einfluss aufweist. Bei der Verbesserung des Anschlusses bisher noch nicht ausreichend erschlossener Gebiete können Dial-a-Ride-Services (DARS) einen wichtigen Beitrag leisten, welche in der mit dem Masterarbeitspreis der GOR ausgezeichneten Arbeit [2] näher betrachtet werden.

Solche bedarfsorientierten Verkehrsmittel zeichnen sich dadurch aus, dass Fahrgäste auf Basis mobiler Applikationen die Möglichkeit erhalten, Fahrten innerhalb des Geschäftsgebiets kurzfristig online zu buchen. Die Anbieter versuchen, die angefragten Fahrten möglichst zu bündeln, um eine optimale Auslastung der Fahrzeuge (zumeist Minibusse) zu gewährleisten, ohne den Reisenden zu starke Unannehmlichkeiten in Form von Umwegen und Wartezeiten zu bereiten. Anbieter solcher Dienste sehen sich mit dem in der Wissenschaft als Dial-a-Ride-Problem (DARP) bezeichneten Planungsproblem konfrontiert. In dessen Rahmen gilt es, zu entscheiden, welche Fahrtanfrage welchem Fahrzeug zugeordnet wird und in welcher Reihenfolge die Wagen die Fahrgäste bedienen sollten. Aufgrund operativer Einschränkungen und anderer Vorgaben, die das Finden einer im Sinne eines Ziels oder mehrerer Ziele optimalen Lösung erschweren, handelt es sich hierbei um ein komplexes Entscheidungsproblem.