Autorin: Elisabeth Gaar
Viele mathematische Optimierungsproblem sind auf so genannten Graphen definiert. Diese haben Knoten (die man sich als Punkte vorstellen kann) und Kanten (die man sich als Striche vorstellen kann), die je zwei dieser Knoten miteinander verbinden. Eines der fundamentalsten Optimierungsproblemen auf Graphen ist es, die Stabilitätszahl eines Graphen zu bestimmen. Dabei handelt es sich um die größte Anzahl von Knoten des Graphen, so dass je zwei dieser Knoten nicht miteinander durch eine Kante verbunden sind. Leider ist es ein (NP-) schweres Problem, die Stabilitätszahl eines Graphen zu bestimmen. Aufgrund der zahlreichen Anwendungen, zum Beispiel in der Molekularbiologie oder bei Terminplanungsproblemen, hat man aber trotzdem ein großes Interesse daran, die Stabilitätszahl von Graphen genau zu bestimmen.
Elisabeth Gaar, Melanie Siebenhofer und Angelika Wiegele haben sich im Artikel „An SDP-based approach for computing the stability number of a graph“, der 2022 im Journal Mathematical Methods of Operations Research publiziert wurde, damit beschäftigt, die Stabilitätszahl von Graphen zu berechnen. Dabei haben sie sich eines weit verbreiteten Lösungsansatzes (einem so genannten Branch-and-Bound-Verfahren) bedient, für dessen Umsetzung man gute Schranken an die Stabilitätszahl braucht. Die Autorinnen haben diese Schranken mit Hilfe eines Semidefiniten Programms erhalten, das bereits 1979 von Lovasz eingeführt wurde, und für das kürzlich von Elisabeth Gaar und Franz Rendl weitere Verbesserungen vorgeschlagen wurden. In dieser Publikation wurden einerseits erstmals die existierenden Schranken für die gesamte Berechnung der Stabilitätszahl verwendet. Andererseits haben die Autorinnen zwei Wege vorgeschlagen, um diese existierenden Schranken deutlich schneller zu berechnen, ohne dabei einen großen Qualitätsverlust in Kauf nehmen zu müssen. Einer der Wege basiert auf der Kenntnis der Facetten des zugrundeliegenden Polytops, der andere auf separierenden Hyperebenen. Dadurch ist es den Autorinnen möglich, den Speicherbedarf für die Berechnung der Stabilitätszahl klein zu halten, und dabei die Zeit für die Berechnung deutlich zu verringern.
Den ganzen Artikel aus Mathematical Methods of Operations Research findet man frei zugänglich unter https://link.springer.com/article/10.1007/s00186-022-00773-1.